Question

P是椭圆+=1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为     ．

Answer

先根据P到两准线的距离求得=9，进而根据椭圆的第二定义可知|PF1|=6e，|PF2|=12e，根据P与两焦点连线互相垂直利用勾股定理建立等式求得a，进而求得c，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．
【解析】
因为P到两准线距离分别为6、12，不妨设P到左准线距离为6，那么12+6=2，即=9
因为椭圆上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率e，
所以|PF1|=6e，|PF2|=12e
又因为PF1垂直于PF2，
所以|F1F2|2=（6e）2+（12e）2=180e2=4c2，
所以a2=45
由=9得c=5，
∴b2=a2-c2=20
因此，椭圆方程为+=1
故答案为+=1