Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．

Answer

先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程．
【解析】
设所求椭圆方程为
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
①②
将②式代入①式，整理得
（a2+b2）x2+2a2x+a2（1-b2）=0，③
设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．
由题设OP⊥OQ，|PQ|=，可得
整理得
④⑤
解这个方程组，得或
根据根与系数的关系，由③式得
（Ⅰ）或（Ⅱ）
解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或
故所求椭圆的方程为，或