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设x、y∈R,、为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量,=x+(y+2),=...

设x、y∈R,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量,manfen5.com 满分网=xmanfen5.com 满分网+(y+2)manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=xmanfen5.com 满分网+(y-2)manfen5.com 满分网,且|manfen5.com 满分网|+|manfen5.com 满分网|=8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设manfen5.com 满分网,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
(1)根据向量的表达式和||+||的值可推断出点M(x,y)到两个定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为8.根据椭圆的定义判断出其轨迹为椭圆,进而根据c和a,求得b,则椭圆方程可得. (2)先看当直线l是y轴,则A、B两点是椭圆的顶点.根据=+=0可推断出P与O重合,与四边形OAPB是矩形矛盾.不可知直线的斜率一定存在,设出直线方程,和A,B的坐标,把直线方程与椭圆方程联立消去y,根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式,根据=+和矩形的性质判断出OA⊥OB,即•=0.求得x1x2+y1y2=0,进而求得k. (1)【解析】 ∵=xi+(y+2)j,=xi+(y-2)j,且||+||=8, ∴点M(x,y)到两个定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为8. c=2,a=4,则b==2 ∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆,方程为+=1. (2)∵l过y轴上的点(0,3), 若直线l是y轴,则A、B两点是椭圆的顶点. ∵=+=0, ∴P与O重合,与四边形OAPB是矩形矛盾. ∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 由y=kx+3,+=1,消y得(4+3k2)x2+18kx-21=0. 此时,△=(18k2)-4(4+3k2)>0恒成立且x1+x2=-,x1x2=-. ∵=+, ∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l,使得四边形OAPB是矩形,则OA⊥OB,即•=0. ∵=(x1,y1),=(x2,y2), ∴•=x1x2+y1y2=0, 即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0, 即(1+k2)•(-)+3k•(-)+9=0,即k2=,得k=±. ∴存在直线l:y=±x+3,使得四边形OAPB是矩形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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