Question

如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点．
（I）求三棱锥D₁-ACE的体积；
（II）求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A-D₁E-C的正弦值．

Answer

（I）利用，求出底面D1CE的面积，然后求三棱锥D1-ACE的体积；
（II）取DD1的中点F，连接FC，说明∠FCA即为异面直线D1E与AC所成角或其补角，解三角形CEF，求异面直线D1E与AC所成角的余弦值；
（III）过点D作DG⊥D1E于点G，连接AG，说明∠AGD为二面角A-D1E-C的平面角，解△AGD，求二面角A-D1E-C的正弦值．
【解析】
（I）
（II）取DD1的中点F，连接FC，

则D1E∥FC，
∴∠FCA即为异面直线D1E与AC
所成角或其补角．
，

∴
∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为
（III）过点D作DG⊥D1E于点G，连接AG，由AD⊥面D1DCC1，
∴AD⊥D2E
又∵DG⊥D1E，∴D1E⊥面ADG
∴D1E⊥AG，则∠AGD为二面角A-D1E-C的平面角
∵D1E•DG=DD1•CD，∴
∴，
二面角A-D1E-C的正弦值为