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已知α1,α2,…αn∈(0,π),n是大于1的正整数,求证:|sin(α1+α...

已知α1,α2,…αn∈(0,π),n是大于1的正整数,求证:|sin(α12+…+αn)|<sinα1+sinα2+…+sinαn
我们用数学归纳法进行证明,先证明不等式|sin(α1+α2+…+αn)|<sinα1+sinα2+…+sinαn当n=2时成立,再假设不等式|sin(α1+α2+…+αn)|<sinα1+sinα2+…+sinαn当n=k(k≥1)时成立,进而证明当n=k+1时,不等式|sin(α1+α2+…+αn)|<sinα1+sinα2+…+sinαn也成立,最后得证不等式. 证明:下面用数学归纳法证明 (1)n=2时,|sin(α1+α2)|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|<sinα1+sinα2, 所以n=2时成立. (2)假设n=k(k≥2)时成立,即 |sin(α1+α2+Λ+αk)|<sinα1+sinα2+Λ+sinαk 当n=k+1时,|sin(α1+α2+Λ+αk+1)|= =|sinαk+1cos(α1+Λαk)+cosαk+1sin(α1+Λαk)| ≤sinαk+1|cos(α1+Λ+αk)|+|cosαk+1|•|sin(α1+Λαk)| <sinαk+1+|sin(α1+Λαk)| <sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1 ∴n=k+1时也成立. 由(1)(2)得,原式成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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