Question

数列{b_n}是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）若a_n=log₂b_n+3，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤42，求m的最大值．

Answer

（I）由b1+b3=5，b1b3=4，根据韦达定理得到b1，b3是一个方程的两根，写出这个方程，求出方程的解即可得到满足题意的b1和b3的解，根据等比数列的性质可得b22=b1b3求出b2的值，然后根据求出的前三项得到等比数列的公比，根据首项和公比写出等比数列的通项公式即可；
（II）把第一问求得的数列{bn}的通项公式代入到an=log2bn+3中，根据对数的运算法则化简可得an的通项公式，得到数列{an}是等差数列，然后根据首项和公差写出数列的前m项和的公式，把前m项和的公式代入已知的不等式中，得到关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围，根据范围找出m的最大值即可．
【解析】
（I）由知b1，b3是方程x2-5x+4=0的两根，
注意到bn+1＞bn得b1=3，b3=4
∴b22=b1b3=4得b2=2．
∴b1=1，b2=2，b3=4
∴等比数列{bn}的公比为=2，
∴bn=b1qn-1=2n-1；
（II）an=log2bn+3=log2an-1+3=n-1+3=n+2，
∵an+1-an=[（n+1）+2]-[n+2]=1，
∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
a1+a2+a2+…+am=m×3+×1=3m+
整理得m2+5m-84≤0，解得-12≤m≤7，
∴m的最大值是7．