Question

过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

Answer

本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法，（1）由于弦AB过点M（1，1），故我们可设出直线AB的点斜式方程，联立直线与圆的方程后，根据韦达定理（根与系数的关系），我们结合点M恰为弦AB的中点，可得到一个关于斜率k的方程，解方程求出k值后，代入整理即可得到直线AB的方程．（2）设AB弦的中点为P，则由A，B，M，P四点共线，易得他们确定直线的斜率相等，由此可构造一个关于x，y的关系式，整理后即可得到过点M的弦的中点的轨迹方程．
【解析】
（1）设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y-1=k（x-1）．
得x2+4（kx+1-k）2=16
得（1+4k2）x2+8k（1-k）x+4（1-k2）-16=0
，
．
．
∴．
（2）设弦AB的中点为P（x，y）
∵A，B，M，P四点共线，
∴kAB=kMP

∴．