Question

已知z是实系数方程x²+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P_z，
（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：P_z在圆C₁：（x-1）²+y²=1上；
（2）给定圆C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P_z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则P_z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s₁是（1）中圆C₁的对应线段）．

Answer

（1）（b，c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明Pz在圆C1：（x-1）2+y2=1上；
（2）①求出虚根，虚根在定圆C：（x-m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），推出c=-2mb+r2-m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②（b，c）是线段s上一点（非端点），实系数方程为x2+2bx-2mb+r2-m2=0，b∈（-m-r，-m+r）此时△＜0，求出方程的根Pz，可推出Pz在圆C上．
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．
【解析】
（1）由题意可得2b+c=0，
解方程x2+2bx-2b=0，得
∴点或，
将点Pz代入圆C1的方程，等号成立，
∴Pz在圆C1：（x-1）2+y2=1上
（2）当△＜0，即b2＜c时，
解得，
∴点或，
由题意可得（-b-m）2+c-b2=r2，
整理后得c=-2mb+r2-m2，
∵△=4（b2-c）＜0，（b+m）2+c-b2=r2，∴b∈（-m-r，-m+r）
∴线段s为：c=-2mb+r2-m2，b∈[-m-r，-m+r]
若（b，c）是线段s上一点（非端点），
则实系数方程为x2+2bx-2mb+r2-m2=0，b∈（-m-r，-m+r）
此时△＜0，且点
在圆C上
（3）表