Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，AB=2，P为线段AB上的动点．
（I）求证：CA₁⊥C₁P；
（II）若四面体P-AB₁C₁的体积为，求二面角C₁-PB₁-A₁的余弦值．

Answer

（I）欲证CA1⊥C1P，可先证CA1⊥平面AC1B，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CA1与平面AC1B内两相交直线垂直，而AB⊥CA1，AC1⊥CA1，AC1∩AB=A，满足定理条件；
（II）先求出P是AB的中点，然后连接A1P，根据二面角平面角的定义可知∠C1PA1是二面角C1-PB1-A1的平面角，在直角三角形C1PA1中求出此角的余弦值即可．
（I）证明：连接AC1，∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，又∵AB⊥AC．
∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1⊂平面A1ACC1，∴AB⊥CA1．（2分）
∵AC=AA1=1，∴四边形A1ACC1为正方形，∴AC1⊥CA1．
∵AC1∩AB=A，∴CA1⊥平面AC1B．（4分）
又C1P⊂平面AC1B，∴CA1⊥C1P． （6分）
（II）【解析】
∵AC⊥AB，AA1⊥AC，且C1A1⊥平面ABB1A，BB1⊥AB，
由，知=，
解得PA=1，P是AB的中点．
（8分）
连接A1P，则PB1⊥A1P，∵C1A1⊥平面A1B1BA，∴PB1⊥C1A1，∴PB1⊥C1P，
∴∠C1PA1是二面角的平面角，（10分）
在直角三角形C1PA1中，，
∴，即二面角的余弦值是