Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）是否存在k∈N^*，使得++…+＜k对任意n∈N^*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；
（2）把an代入到bn=中得到bn的通项公式，即可得到前n项和的通项sn；
（3）把sn代入得到，讨论求出各项和的最大值，即可求出k的取值范围．
【解析】
（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，
∴a32+2a3a5+a52=25，
∴（a3+a5）2=25，
又an＞0，∴a3+a5=5，
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5=4．
而q∈（0，1），
∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，
∴q=，a1=16，∴an=16×（）n-1=25-n．
（2）∵bn=log2an=5-n，∴bn+1-bn=-1，
b1=log2a1=log216=log224=4，
∴{bn}是以b1=4为首项，-1为公差的等差数列，
∴Sn=．
（3）由（2）知Sn=，∴=．
当n≤8时，＞0；当n=9时，=0；
当n＞9时，＜0．
∴当n=8或9时，++++=18最大．
故存在k∈N*，使得+++＜k对任意n∈N*恒成立，k的最小值为19．