Question

已知数列{a_n}：a₁=1，a₂=2，a₃=r，a_n+3=a_n+2（n是正整数），与数列{b_n}：b₁=1，b₂=0，b₃=-1，b₄=0，b_n+4=b_n（n是正整数）．
记T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₁₂=64，求r的值；
（2）求证：当n是正整数时，T_12n=-4n．

Answer

本题考查的知识点是数列求和及数学归纳法证明．（1）由已知中a1=1，a2=2，a3=r，an+3=an+2，我们易给出a1+a2+a3+…+a12的表达式（含参数r），构造方程后，解方程即可进行求解．（2）要证明当n是正整数时，T12n=-4n，我们可以利用数学归纳法，对其进行论证．
【解析】
（1）a1+a2+a3+…+a12
=1+2+r+3+4+（r+2）+5+6+（r+4）+7+8+（r+6）
=48+4r．
∵48+4r=64，
∴r=4．
证明：（2）用数学归纳法证明：
当n∈Z+时，T12n=-4n．
①当n=1时，T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4，
等式成立
②假设n=k时等式成立，即T12k=-4k，
那么当n=k+1时，
T12（k+1）=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈Z+时，T12n=-4n．