Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，AA₁=，N、M分别是线段B₁B、AC₁的中点．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距离
（III）求二面角A₁-AB₁-C₁的大小．

Answer

（I） 取AC中点F，连接MF，BF，证明四边形MNBF为平行四边形，则可证行线面平行的判定定理成立的条件．
（II）设A1到平面AB1C1的距离为h，从题设条件知道，本小题宜用等体积法求解．
（III）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，又点D是等腰直角三角形A1B1C1斜边A1B1的中点，故有C1D⊥平面A1B1BA，再由作二面角平面角的作法作出平面角，此角所在三角形是直角三角形，在此直角三角形中求该角的三角函数值再由值求角．
【解析】
（I）证明：取AC中点F，连接MF，BF，
在三角形AC1C中，MN∥C1C且，
∴MF∥BN且MF=BN
∴四边形MNBF为平行四边形
∴BF∥MN
∵BF⊂平面ABC
MN⊂平面ABC不成立
∴MN∥平面ABC（6分）
（II）设A1到平面AB1C1的距离为h，AA1⊥平面A1B1C1
∴
∴
∵，

∴
（III）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，
又点D是等腰直角三角形A1B1C1斜边A1B1的中点．
则C1D⊥A1B1
所以，C1D⊥平面A1B1BA；
平面A1B1BA内，过D作DE⊥AB1，垂足为E，连接C1E，则C1E⊥AB1；
∴∠C1ED是二面角，A1-AB1-C1的平面角，
在Rt
所以，二面角，A1-AB1-C1的大小为．（13分）