Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x₁是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

Answer

（1）判定函数是否满足：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
（2）证明只有一个的问题，可利用反正法进行证明，假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），然后寻找矛盾，从而肯定结论．
（3）构造f（x）-x，研究函数f（x）-x的单调性，从而得到|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，再利用绝对值不等式即可证得．
【解析】
（I）因为，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）-x=0有实数根0．
所以函数是的集合M中的元素．（3分）
（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，
与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）-x=0只有一个实数根；（8分）
（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x2）＜f（x3），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x2）-x2＞f（x3）-x3，
所以0＜f（x3）-f（x2）＜x3-x2，
即|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，
所以|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|=|x3-x1-（x2-x1）|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2（13分）