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已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=a(Sn-an+1)(a为常数,a≠0...

已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=a(Sn-an+1)(a为常数,a≠0,a≠1).
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=an2+Sn•an,若数列{bn}为等比数列,求a的值;
(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,manfen5.com 满分网,数列{cn}的前n项和为Tn.求证:Tn>2n-manfen5.com 满分网
(Ⅰ)由题意知a1=a,Sn=a(Sn-an+1),Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),由此可知an=a•an-1,,所以an=a•an-1=an. (Ⅱ)由题意知a≠1,,,由此可解得. (Ⅲ)证明:由题意知,所以=,由此可知Tn>2n-. 【解析】 (Ⅰ)S1=a(S1-a1+1) ∴a1=a,.(1分) 当n≥2时,Sn=a(Sn-an+1),Sn-1=a(Sn-1-an-1+1), 两式相减得:an=a•an-1, (a≠0,n≥2)即{an}是等比数列. ∴an=a•an-1=an;(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知a≠1, ,, 若{bn}为等比数列,则有b22=b1b3, 而b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4(2a2+a+1)(6分) 故[a3(2a+1)]2=2a2•a4(2a2+a+1),解得,(7分) 再将a=代入得bn=()n成立,所以a=.(8分) (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知, 所以==(10分) 所以 Tn=c1+c2++cn+(2-) =(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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