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已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)...

已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)在x=-1处取极值.求
(Ⅰ)b的值;
(Ⅱ)函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值.
(I)由函数F(x)=f(x)-3x2是一个奇函数,得到F(-x)=-F(x)构建关于b的方程求解. (II)由函数f(x)在x=1处取极大值,可得陇望蜀f′(-1)=0和f(-1)=-6-6+c=0,从而得到了f(x)=-2x3+3x2+12x,再导数求得最值. 【解析】 (I)∵函数F(x)=f(x)-3x2是一个奇函数, ∴F(-x)=-F(x),化简计算得∴b=3;(4分) (II)∵函数f(x)在x=1处取极大值, ∴f′(-1)=0(5分)f(x)=-2x3+3x2+cx,f′(x)=-6x2+6x+c(6分) ∴f(-1)=-6-6+c=0,c=12(8分) ∴f(x)=-2x3+3x2+12x,f′(x)=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2) 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=2,(9分) 列表 (11分) ∴当x=-3时,f(x)max=45.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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