Question

已知数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a_n=7S_n-1-1（n≥2），a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n，是否存在最小的正整数k，使得对于任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）由题设条件知an+1-an=7（Sn-Sn-1）=7an（n≥2），所以an=2•8n-1=23n-2；（4分）
（II）由，知，由此入手能够求出k的值．
【解析】
（I）由已知an=7Sn-1-1①an+1=7Sn-1②
②-①，得an+1-an=7（Sn-Sn-1）=7an（n≥2）（2分）
∴an+1=8an，又a1=2，所以数列{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列
∴an=2•8n-1=23n-2；（4分）
（II），（5分）
∴
∴，（7分）
=
∵n∈N*，∴n≥1，即-3n+1＜0
∴Tn+1-Tn＜0，Tn+1＜Tn，即数列{Tn}是一个单调递减数列，又
∴Tn≤，若恒成立，则，即k＞3（13分）
又k是正整数，故最小正整数k为4．（14分）