Question

（1）试证明：y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称；
（2）若f（1+2x）=f（1-2x）对x∈R恒成立，求函数y=f（x）图象的对称轴方程．

Answer

（1）y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行证明；
（2）先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．
【解析】
（1） 证明：由题设知y=f（a-x）=f[-（x-a）]
由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，不妨令a＞0
又y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动a个单位而得到
y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称
（2）令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称
即函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=1