Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=，求证：平面PMC⊥平面PCD．

Answer

（1）取PD中点E，连接AE、EN，转化为证四边形AMNE为平行四边形．即用线线平行来推导线面平行．
（2）先证AB⊥平面PAD⇒AB⊥MN，再利用CD∥AB可得结论．
（3）先由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，和∠APD=45°，E为PD中点⇒AE⊥PD⇒．MN⊥PD．再由MN⊥CD证出MN⊥平面PCD⇒要证结论．
【解析】
（1）取PD中点E，连接AE、EN
则ENCDABAM，
故四边形AMNE为平行四边形
∴MN∥AE
又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD
∴MN∥平面PAD（5分）

（2）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB
又AD⊥AB∴AB⊥平面PAD
∴AB⊥AE，即AB⊥MN
又CD∥AB，∴MN⊥CD（10分）

（3）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AD
又∠APD=45°，E为PD中点∴AE⊥PD
又AE∥MN∴MN⊥PD
又MN⊥CD且PD∩CD=D
∴MN⊥平面PCD
又MN⊂平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD（14分）