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设直线l1和l2相交于点R,l1⊥l2,M、N∈l1,|MN|=4,M分manfen5.com 满分网所成比为manfen5.com 满分网,记到点N的距离比它到直线l2的距离小1的点的轨迹为曲线C,在曲线C上取点A1,B1,A2
B2,p1、p2分别是A1B1和A2B2的中点,且A1B1⊥A2B2
(1)求曲线C的方程;
(2)求点p1和p2到直线l1距离的乘积.
(1)先以l1为x轴,过M且垂直于l1的直线为y的轴,建立直角坐标系根据题意可求得曲线的方程. (2)由(1)可设A1,B1,A2,B2的坐标,即研究A1B1和A2B2的中点纵坐标绝对值之积. 【解析】 (1)以l1为x轴,过M且垂直于l1的直线为y的轴, 建立直角坐标系,点M为坐标原点,此时, 点N的坐标为(4,0),直线l2的方程为x+5=0. 由题意可知.曲线方程是y2=16x. (2)设A1,B1,A2,B2的坐标依次为: (,y1),(),(),(). 若y12=y22,由于A1,B1是不同点, ∴y1=-y2≠0, ∴AB⊥x轴,从而A2B2∥x轴. 由于平行于x轴的直线与抛物线只能有一个交点矛盾, ∴y12≠y22, 同理y32≠y42, A1B1斜率为, A2B2的斜率为. 由于A1B1⊥A2B2 得(y1+y2)(y3+y4)=-162. 因P1,P2的纵坐标分别为,, ∴它们的乘积为()()=-64, 点P1和P2到直线l1的距离的乘积为64.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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