Question

设直线l₁和l₂相交于点R，l₁⊥l₂，M、N∈l₁，|MN|=4，M分所成比为，记到点N的距离比它到直线l₂的距离小1的点的轨迹为曲线C，在曲线C上取点A₁，B₁，A₂
B₂，p₁、p₂分别是A₁B₁和A₂B₂的中点，且A₁B₁⊥A₂B₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求点p₁和p₂到直线l₁距离的乘积．

Answer

（1）先以l1为x轴，过M且垂直于l1的直线为y的轴，建立直角坐标系根据题意可求得曲线的方程．
（2）由（1）可设A1，B1，A2，B2的坐标，即研究A1B1和A2B2的中点纵坐标绝对值之积．
【解析】
（1）以l1为x轴，过M且垂直于l1的直线为y的轴，
建立直角坐标系，点M为坐标原点，此时，
点N的坐标为（4，0），直线l2的方程为x+5=0．
由题意可知．曲线方程是y2=16x．

（2）设A1，B1，A2，B2的坐标依次为：
（，y1），（），（），（）．
若y12=y22，由于A1，B1是不同点，
∴y1=-y2≠0，
∴AB⊥x轴，从而A2B2∥x轴．
由于平行于x轴的直线与抛物线只能有一个交点矛盾，
∴y12≠y22，
同理y32≠y42，
A1B1斜率为，
A2B2的斜率为．
由于A1B1⊥A2B2
得（y1+y2）（y3+y4）=-162．
因P1，P2的纵坐标分别为，，
∴它们的乘积为（）（）=-64，
点P1和P2到直线l1的距离的乘积为64．