Question

如图，已知圆A过定点B（0，2），圆心A在抛物线C：x²=4y上运动，MN为圆A在x轴上所截得的弦．
（Ⅰ）证明：|MN|是定值；
（Ⅱ）讨论抛物线C的准线l与圆A的位置关系；
（Ⅲ）设D是抛物线C的准线l上任意一点，过D向抛物线作两条切线DS，DT（切点是S，T），判断直线ST是否过定点，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）设A（x，y），根据抛物线的方程求得其横坐标和纵坐标的关系，根据两点间的距离表ishichu圆的半径，进而表示出圆的方程，把y=0，和x2=4y代入，表示出x1和x2进而求得|MN|为定值．
（Ⅱ）先表示出圆心A到抛物线准线方程的距离，进而表示出d2-r2，根据y的范围确定抛物线与圆的位置关系．
（Ⅲ）设出切点的坐标，对抛物线方程求导，求得切点处直线的斜率，表示出切线方程，把切点代入求得x1x2，进而根据S，T坐标表示出直线方程，把x1x2的值代入，进而根据直线的方程推断出直线恒过定点（0，1）．
【解析】
（Ⅰ）设A（x，y），则x2=4y，
则圆A的半径r=，
则圆A的方程为（x-x）2+（y-y）2=x2+（y-2）2，
令y=0，并将x2=4y代入得x2-2xx+x2-4=0，
解得x1=x-2，x2=x+2，∴|MN|=|x1-x2|=4为定值．

（Ⅱ）圆心A到抛物线准线l：y=-1的距离为d=y+1，
则d2-r2=6y-3-x2=2y-3
所以，当时，d＜r，抛物线C的准线l与圆A相交；
当时，d=r，抛物线C的准线l与圆A相切；
当时，d=r，抛物线C的准线l与圆A相离．

（Ⅲ）设切点为，由，
则切线为，
所以消去t可得，x1x2=-4．
又，
所以直线ST的方程是，
即，
把x1x2=-4，代入得，
故直线ST是过定点F（0，1）．