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设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且...

设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线manfen5.com 满分网相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知{rn}为递增数列.
(Ⅰ)证明:{rn}为等比数列;
(Ⅱ)设r1=1,求数列manfen5.com 满分网的前n项和.manfen5.com 满分网
(1)求直线倾斜角的正弦,设Cn的圆心为(λn,0),得λn=2rn,同理得λn+1=2rn+1,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即{rn}中rn+1与rn的关系,证明{rn}为等比数列; (2)利用(1)的结论求{rn}的通项公式,代入数列,然后用错位相减法求和. 【解析】 (1)将直线y=x的倾斜角记为,则有tanθ=,sinθ=, 设Cn的圆心为(λn,0),则由题意得知,得λn=2rn;同理 λn+1=2rn+1,从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,将λn=2rn代入, 解得rn+1=3rn 故|rn|为公比q=3的等比数列. (Ⅱ)由于r1=1,q=3,故rn=3n-1,从而, 记, 则有Sn=1+2•3-1+3•3-2+…+n•31-n ①-②,得   =, ∴
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考点分析:
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61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,
77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,
(Ⅰ)完成频率分布表;
(Ⅱ)作出频率分布直方图;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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