Question

已知a≥0，函数f（x）=x²+ax．设，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l，l与x轴的交点是N（x₂，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出f'（x），把x=x1代入到导函数中求出切线l的斜率，并代入到f（x）中求出f（x1），写出切线方程，然后令y=0求出与x轴的交点横坐标x即x2得证；
（Ⅱ）根据第一问写出M和N的坐标，算出与的数量积，当a等于0时不等式成立，当a大于0时设g（x1）等于数量积，求出导函数等于0时，x1的值，然后利用讨论导函数的正负得到函数的单调区间，利用函数的增减性得到g（x1）的最小值大于列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）证明：对f（x）求导数，得f'（x）=2x+a，故切线l的斜率为2x1+a，
由此得切线l的方程为y-（x12+ax1）=（2x1+a）（x-x1）．
令y=0，得．
（Ⅱ）由，得．
所以a=0符合题意；
当a＞0时，记，．
对g（x1）求导数，得，
令g'（x1）=0，得．
当时，g'（x1）的变化情况如下表：
所以，函数g（x1）在上单调递减，
在上单调递增，从而函数g（x1）的最小值为．
依题意，解得，即a的取值范围是．
综上，a的取值范围是或a=0．