Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=m，其中0＜m＜1，函数．
（1）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），证明是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），数列{b_n}满足b_n=，试证明b₁+b₂+…+b_n＜．

Answer

本题考查数列与函数的关系、等差数列的证明、求数列的通项公式、求数列的前n项和、裂项法求和等数列知识和方法，
（1）根据所给函数及an+1=f（an）可得数列的递推关系，由此获得，数列是等差
数列得证，并由的通项公式进而得到数列{an}的通项公式；
（2）根据{an}满足an+1≤f（an）可得，由此推得，然后由即得，由此问题得证．
【解析】
（1）∵f（x）=
∴
∴
∴是公差为2的等差数列
又
∴
∴
（2）由（1）知0＜an+1≤
∴
∴，…，，
则
而a1=m，则
∵0＜m＜1，∴
∴，i=1，2，3，…，n
∴，i=1，2，3，…，n
∴（）
=；
∴b1+b2+…+bn＜．