Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（单位：cm），E为PA的中点．
（1）证明：DE∥平面PBC；
（2）证明：DE⊥平面PAB．

Answer

（1）设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，可证四边形CDEF为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）由题意可知PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，可得AB⊥PD，然后再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明；
【解析】
（1）设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，
所以EF∥DC，且EF=DC=AB，
故四边形CDEF为平行四边形，
可得ED∥CF．（4分）
ED⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，
故DE∥平面PBC．（7分）
（2）PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PD，
又因为AB⊥AD，PD∩AD=D，
AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．（10分）
ED⊂平面PAD，故ED⊥AB，
又PD=AD，E为PA之中点，故ED⊥PA；（12分）
PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴DE⊥平面PAB．（14分）