Question

在△ABC中，点M是BC的中点，△AMC的三边长是连续三个正整数，且tan∠C=cot∠BAM．
（I）判断△ABC的形状；
（II）求∠BAC的余弦值．

Answer

（1）假设∠BAM=α，∠MAC=β，根据正弦定理可找到α，β与B，C的正弦之间的关系，进而再由诱导公式可确定α与β的关系．
（2）先设出3个连续的整数，再由勾股定理确定关系，根据余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．
【解析】
（I）设∠BAM=α，∠MAC=β，
则由tanC=cotα得α+C=90°∴β+B=90°
△ABM中，由正弦定理得
同理得，
∵MB=MC，∴，
∴sinαsinC=sinβsinB∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinαcosα=sinβcosβ
即sin2α=sin2β，∴α=β或α+β=90°
当α+β=90°时，，
与△AMC的三边长是连续三个正整数矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．

（II）在直角三角形AMC中，设两直角边分别为n，n-1，斜边为n+1，
由（n+1）2=n2+（n-1）2得n=4，
由余弦定理或二倍角公式得
或