Question

在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．a_ij表示位于第i行第j列的数，其中，a₄₂=1，．

（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求a_ij的计算公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=a_nn，{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与T_n=（ n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用和求出a44，再利用每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q来求公比即可．
（Ⅱ）先求出ai4，然后在利用第i行成等比数列，且公比，即可求出aij的计算公式；
（Ⅲ）有（Ⅱ）的结论求出bn的通项，再利用错位相减法求出Sn，然后研究出Sn与Tn=对应的函数的单调性，利用单调性来比较Sn与Tn=的大小即可．
【解析】
（Ⅰ）设第4列公差为d，则．
故，于是．
由于aij＞0，所以q＞0，故．（3分）
（Ⅱ）在第4列中，．
由于第i行成等比数列，且公比，
所以，．（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知．即bn=．
所以Sn=b1+b2+b3++bn=a11+a22+a33++ann．
即，
故．
两式相减，得=，
所以．（8分）
设f（x）=2--（x＞0），
即f（x）=2--=2-=2-（2+x）2-x．
因为f′（x）=-[2-x+（2+x）2-x（-1）ln2]=2-x[（2+x）ln2-1]
=2-x[ln22+x-lne]=2-xln，
且当x＞0时，x+2＞2．所以22+x＞22=4．
于是＞＞1．
所以ln＞0．
又2-x＞0，
所以在（0，+∞）上f′（x）=2-xln＞0．
因此函数f（x）=2--在（0，+∞）单调递增．
所以（n∈N*）是递增数列．（10分）
同理设g（x）=（x＞0），
因为g′（x）=•=-＜0（x＞0），
故g（x）=在（0，+∞）单调递减．
所以Tn=（n∈N*）是递减数列．（12分）
容易计算S1=f（1）=，S2=f（2）=1，S3=f（3）=1，S4=f（4）=1，
T1=g（1）=1，T2=g（2）=1，T3=g（3）=1，T4=g（4）=1，
显然S1＜T1，S2＜T2，S3＜T3，S4＞T4，
所以当n≤3时，Sn＜Tn；当n＞3时，Sn＞Tn．（14分）