Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）求证：BD⊥FG；
（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）要证：BD⊥FG，只需证明BD⊥平面PAC，即可；
（Ⅱ）当G为EC中点，即AG=AC时，要证明FG∥平面PBD，FG∥PE即可．
证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG⊂平面PAC，
∴BD⊥FG（7分）

解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=AC时，
FG∥平面PBD，（9分）
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG⊂平面PBD，PE∥平面PBD，
故FG∥平面PBD．（13分）