Question

在直角坐标系xOy中，点M到点F₁、F₂的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，由此可求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）将，代入曲线C的方程，整理得．然后利用根与系数的关系求出k的值．
【解析】
（Ⅰ）∵点M到，的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为．
（Ⅱ）将，代入曲线C的方程，
整理得．①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由方程①，得，．②
又．③
若，则x1x2+y1y2=0，
将②、③代入上式，解得．
又因k的取值应满足△＞0，即4k2-1＞0（*），
将代入（*）式知符合题意．