满分5 > 高中数学试题 >

如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面A...

如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
(I)求点P到平面ABCD的距离,
(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.

manfen5.com 满分网
(1)侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,△PAD与菱形ABCD有公共边AD,所以△PAD≌△ADB≌△CDB,故作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连接PE.于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,为120°,所以PO=PE•sin60°=. (2)解法一: 建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA,OB为y轴,OP为z轴,连接AG. 则:P(0,0,),B(0,,0),PB的中点G的坐标为(0,,),A(1,,0),C(-2,,0).根据坐标运算即可求得面APB与面CPB所成二面角的大小.这种解法的好处就是:(1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.(2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可. 解法二: 求解二面角的大小,关键在于作出它的平面角.取PB的中点G,PC的中点F,连接EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=BC.因为AD⊥PB,所以BC⊥PB,FG⊥PB,所以∠AGF是所求二面角的平面角. (I)【解析】 如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连接PE. ∵AD⊥PB,∴AD⊥OB, ∵PA=PD,∴OA=OD, 于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60° 由已知可求得PE= ∴PO=PE•sin60°=, 即点P到平面ABCD的距离为. (II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA..连接AG. 又知.由此得到: , . 所以 等于所求二面角的平面角, 于是, 所以所求二面角的大小为. 解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连接EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=BC. ∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB, ∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG. 又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中,EG=PE•cos60°=. 在Rt△PEG中,EG=AD=1. 于是tan∠GAE==, 又∠AGF=π-∠GAE. 所以所求二面角的大小为π-arctan.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为manfen5.com 满分网,每位男同学能通过测验的概率均为manfen5.com 满分网.试求:
(I)选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;
(II)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
查看答案
已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.
查看答案
求函数manfen5.com 满分网的最小正周期、最大值和最小值.
查看答案
等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
(Ⅰ)求通项an
(Ⅱ)若Sn=242,求n.
查看答案
已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是:
①两条平行直线;
②两条互相垂直的直线;
③同一条直线;
④一条直线及其外一点.
在上面结论中,正确结论的编号是    (写出所有正确结论的编号) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.