Question

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN．
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．

Answer

（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；
（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．
【解析】
（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．
由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，
可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB，
∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，
因此△ABC为正三角形．
∵Rt△ANB≌Rt△CNB，
∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，
连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．
在Rt△NHB中，cos∠NBH===．