Question

设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．

Answer

依题意可知|PQ|=，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1-y2），|PQ|2=a2（1-y2）+y2-2y+1=（1-a2）y2-2y+1+a2
=（1-a2）（y-）2-+1+a2．由此分类讨论进行求解．
【解析】
由已知得到P（0，1）或P（0，-1）
由于对称性，不妨取P（0，1）
设Q（x，y）是椭圆上的任一点，
则|PQ|=，①
又因为Q在椭圆上，
所以，x2=a2（1-y2），
|PQ|2=a2（1-y2）+y2-2y+1=（1-a2）y2-2y+1+a2
=（1-a2）（y-）2-+1+a2．②
因为|y|≤1，a＞1，若a≥，则||≤1，
所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，
即当-1≤≤1时，
在y=时，|PQ|取最大值；
如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．
即当＜-1时，则当y=-1时，|PQ|取最大值2．