满分5 > 高中数学试题 >

A={a1,a2,…,ak}(k≥2),其中ai∈Z(i=1,2,…,k),由A...

A={a1,a2,…,ak}(k≥2),其中ai∈Z(i=1,2,…,k),由A中的元素构成两个相应的集合:S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A}.其中(a,b)是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的a∈A,总有-a不属于A,则称集合A具有性质P.
(1)对任何具有性质P的集合A,证明:manfen5.com 满分网
(2)判断m和n的大小关系,并证明你的结论.
(1)首先,由A中元素构成的有序数对(ai,aj)共有k2个,已知0不属于A,得到(ai,ai)不属于T,当(ai,aj)∈T时,(aj,ai)不属于T,得到集合T中元素的个数最多为两者之差. (2)分两种情况进行讨论对于(a,b)∈S,和对于(a,b)∈T,根据所给的定义得到S中元素的个数不多于T中元素的个数,即m≤n,T中元素的个数不多于S中元素的个数,即n≤m,从而得到m=n. (1)证明:首先,由A中元素构成的有序数对(ai,aj)共有k2个. ∵0不属于A, ∴(ai,ai)不属于T(i=1,2,,k); 又∵当a∈A时,-a不属于A时,-a不属于A, 当(ai,aj)∈T时,(aj,ai)不属于T(i,j=1,2,,k). 从而,集合T中元素的个数最多为, 即. (2)【解析】 m=n, 证明如下: (1)对于(a,b)∈S,根据定义,a∈A,b∈A,且a+b∈A,从而(a+b,b)∈T. 如果(a,b)与(c,d)是S的不同元素, 那么a=c与b=d中至少有一个不成立,从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立. 故(a+b,b)与(c+d,d)也是T的不同元素. 可见,S中元素的个数不多于T中元素的个数,即m≤n, (2)对于(a,b)∈T,根据定义,a∈A,b∈A,且a-b∈A,从而(a-b,b)∈S. 如果(a,b)与(c,d)是T的不同元素,那么a=c与b=d中至少有一个不成立, 从而a-b=c-d与b=d中也不至少有一个不成立, 故(a-b,b)与(c-d,d)也是S的不同元素. 可见,T中元素的个数不多于S中元素的个数,即n≤m, 由(1)(2)可知,m=n.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
设常数a≥0,函数f(x)=x-ln2x+2alnx-1
(1)令g(x)=xf'(x)(x>0),求g(x)的最小值,并比较g(x)的最小值与0的大小;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
查看答案
manfen5.com 满分网如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
查看答案
已知直线y=2x+k被抛物线x2=4y截得的弦长AB为20,O为坐标原点.
(1)求实数k的值;
(2)问点C位于抛物线弧AOB上何处时,△ABC面积最大?

manfen5.com 满分网 查看答案
已知一组抛物线manfen5.com 满分网,其中a为2,4,6,8中任取的一个数,b为1,3,5,7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是    查看答案
已知a,b是不相等的两个正数,在a,b之间插入两组数:x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,( n∈N*,且n≥2),使得a,x1,x2,…,xn,b成等差数列,a,y1,y2,…,yn,b成等比数列.老师给出下列五个式子:①manfen5.com 满分网;②manfen5.com 满分网;③manfen5.com 满分网;④manfen5.com 满分网;⑤manfen5.com 满分网.其中一定成立的是    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.