Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，若{a_n+1-a_n}是等差数列，{b_n+1-b_n}是等比数列．
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}中最小项及最小项的值．

Answer

（1）利用已知，可求出{an+1-an}的首项与公差，{bn+1-bn}的首项与公比，代入等差和等比数列的通项公式，即可求出an+1-an与bn+1-bn的表达式，再利用叠加法转化为等差或等比数列求和，从而求出an与bn；
（2）利用配方法求an的最小值．
【解析】
（1）a2-a1=-2，a3-a2=-1由{an+1-an}成等差数列知其公差为1，
故an+1-an=-2+（n-1）•1=n-3；
b2-b1=-2，b3-b2=-1，
由{bn+1-bn}等比数列知，其公比为，故，（6分）
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1
=+6
=
=，（8分）
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+（bn-2-bn-3）+…+（b2-b1）+b1
=+6
=2+24-n．
（2）∵an==（n-）2+，
∴n=3或n=4时，an取到最小值，a3=a4=3．