Question

某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x-1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投资额为零时，收益为零．
（1）试求出a、b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值．（精确到0.1，参考数据：ln3≈1.10）．

Answer

（1）由f（0）=0，g（0）=0求出a，b；（2）分配资金构造新的函数s（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5），再用导数法研究其单调性，从而得出最值．
【解析】
（1）根据问题的实际意义，可知f（0）=0，g（0）=0
即：，
（2）由（1）的结果可得：f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）依题意，可设投入B商品的资金为x万元（0＜x≤5），则投入A商品的资金为5-x万元，若所获得的收入为s（x）万元，则有s（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5）∵s（x）=
当x＜2时，s′（x）＞0；当x＞2时，s′（x）＜0；
∴x=2是s（x）在区间[0，5]上的唯一极大值点，此时s（x）取得最大值：
S（x）=s（2）=6ln3+6≈12.6（万元），此5-x=3（万元）
答该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益．