Question

（1）是否存在锐角α与β，使得（1），（2）同时成立．
若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由．
（2）已知tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的两根，求sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）的值．

Answer

（1）把条件1的等号两边都除以2得到，两边取正切，利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，并把①代入得到②，然后把①和②联立即可求出tan和tanβ的值，利用特殊角的三角函数值求出角，根据α与β是锐角进行检验得到满足题意的α和β的值；
（2）因为tanα，tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，所以根据根与系数的关系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用两角和正切函数公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos2（α+β）=后得到关于tan（α+β）的关系式，把tan（α+β）的值代入即可求出值．
【解析】
（1）由得到，所以tan（）==tan=，
把①代入式子中得到：tan+tanβ=3-②，
把①②联立求得：tan=1，tanβ=2-或tan=2-，tanβ=1；
由题知锐角α，当tan=1时，α=矛盾，所以舍去；
当tanβ=1时，因为β为锐角，所以β=，
根据得到α=．
（2）因为tanα，tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，根据根与系数的关系得到：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3
则tan（α+β）==，而原式=cos2（α+β）[tan2（α+β）-3tan（α+β）-3]
=[tan2（α+β）-3tan（α+β）-3]=[-3×-3]=-3．