Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（-，）两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．

Answer

（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得，求出m，n后就得到椭圆的方程．
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1-），结合题设条件能够推导出|AP|2=（x-a）2+4-a2（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．
【解析】
（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵椭圆过M，N两点
∴⇒，即椭圆方程为+=1．
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1-）
∴|AP|2=（x-a）2+y2=（x-a）2+4（1-）=（x-a）2+4-a2（|x|≤3），
当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4-a2
∴4-a2=1⇒a=±∉（0，]
∴a＞3即＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3-a）2
∴（3-a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）
故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．