Question

数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，若对任意正整数n，有a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，则该数列的前2010项和S₂₀₁₀=（ ）
A．2010
B．4020
C．3015
D．-2010

Answer

分别表示出anan+1an+2=an+an+1+an+2，an+1an+2an+3=an+1+an+2+an+3，两式相减可推断出an+3=an，进而可知数列{an}是以3为周期的数列，只要看2010是3的多少倍，然后通过a1=1，a2=2，求得a3，而2010是3的670倍，故可知S2010=670×（1+2+3）答案可得．
【解析】
依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2，an+1an+2an+3=an+1+an+2+an+3，两式相减得an+1an+2（an+3-an）=an+3-an，
∵an+1an+2≠1，
∴an+3-an=0，即an+3=an，
∴数列{an}是以3为周期的数列，
∵a1a2a3=a1+a2+a3，∴a3=3
∴S2010=670×（1+2+3）=4020
故选B