Question

某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、…、第50（n-1）米至50n米的圆环面为第n区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：
（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量（结果精确到1千克）？
（2）第几区内的火山灰总重量最大？

Answer

（1）设第n区每平方米的重量为an千克，则an=1000（1-2%）n-1=1000×0.98n-1．由题意知第1225米位于第25区，a25=1000×0.9824=616（千克）．
（2）设第n区内的面积为bn平方米，第n区火山灰总重量最大，
则，由此得到第50区火山灰的总重量最大．
【解析】
（1）设第n区每平方米的重量为an千克，则an=1000（1-2%）n-1=1000×0.98n-1（2分）
第1225米位于第25区，（4分）
∴a25=1000×0.9824=616（千克）
故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）
（2）设第n区内的面积为bn平方米，则bn=π502n2-π502（n-1）2=2500π（2n-1）
则第n区内火山灰的总重量为Cn=anbn=25×105π（2n-1）×0.98n-1（千克）（9分）
设第n区火山灰总重量最大，
则，（13分）
解得49.5≤n≤50.5，即得第50区火山灰的总重量最大．（16分）