Question

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求边AB中点的轨迹方程；
（2）当AB边通过坐标原点O时，求△ABC的面积；
（3）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer

（1）设AB所在直线的方程为y=x+m，将它代入椭圆方程消去y得到一个关于x的二元方程，再利用中点坐标公式结合根与系数的关系即可得边AB中点的轨迹方程；
（2）欲求△ABC的面积，只须求出边AB的长及高即可，利用（1）中的关于x的二元方程结合弦长公式可求得AB，又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，可求得三角形的高，从而求得面积；
（3）因∠ABC=90°，由勾股定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2其中|AB|可求（1）中的方程结合弦长公式可求得，又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离也可距离公式求出，表示出斜边AC的长后利用函数的最值求出其最大即可．
【解析】
（1）设AB所在直线的方程为y=x+m
由得4x2+6mx+3m2-4=0．（2分）
因为A、B在椭圆上，所以△=-12m2+64＞0.
设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），中点为P（x，y）
则，，
所以中点轨迹方程为（4分）

（2）∵AB∥l，且AB边通过点（0，0），故AB所在直线的方程为y=x．
此时m=0，由（1）可得x=±1，所以（6分）
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以（8分）
．（10分）

（3）由（1）得，，
所以．（12分）
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即．（14分）
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．（16分）