Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设（n∈N^*），证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求的值；
（3）设c_n=2b_n-1，数列{c_n}的前n项和为T_n，，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d₁+d₂+d₃+…+d_n≥log₈（2m+t）成立？请说明理由．

Answer

本题考查“构造数列法”、等差数列的证明、数列的前n项和为Sn，极限的求法，存在性问题的探究等．
（1）属于常规性题目，所给（n∈N*）提供了一种构造数列的方法，实为解题的一种提示和铺垫；
（2）在（1）的基础上不难求得数列{bn}的通项公式，进而由可得数列{an}的通项公式及前n项和为Sn，然后可得的值；
（3）由cn=2bn-1构造新数列{cn}，不难求得前n项和为Tn=n2，于是dn可求，按照存在性问题的研究即可得到满足条件的实数t不存在．
【解析】
（1）an+1=2an+2n，，（2分）
bn+1=bn+1，故{bn}为等差数列，b1=1，bn=n．（4分）
（2）由（1）可得an=n2n-1（6分）
Sn=1•2+2•21+3•22+n•2n-1
2Sn=1•21+2•22+3•23+（n-1）•2n-1+n•2n
两式相减，得-Sn=2+21+22+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n，即Sn=（n-1）2n+1（8分）
∴（10分）
（3）由（1）可得Tn=n2，（12分）
∴，
∴{d1+d2+d3++dn}单调递增，即，（14分）
要使d1+d2+d3++dn≥log8（2m+t）对任意正整数n成立，
必须且只需，即0＜2m+t≤2对任意m∈[1，2]恒成立．（16分）
∴[2+t，4+t]⊆（0，2]，即矛盾．
∴满足条件的实数t不存在．