Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．

Answer

（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x1+x2的和x1x2的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围
（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x3，y3），则由中点坐标公式求得x3的坐标，进而求得QM的长度．根据△MNQ为等腰直角三角形，求得QN的长度，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．
【解析】
（1）直线l的方程为y=x-a
将y=x-a代入y2=2px，
得x2-2（a+p）x+a2=0．
设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则
又y1=x1-a，y2=x2-a，
∴==
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴．
解得．
（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x3，y3），则由中点坐标公式，得，．
∴|QM|2=（a+p-a）2+（p-0）2=2p2，
又△MNQ为等腰直角三角形，
∴|QN|=|QM|=
∴==，
即△NAB面积最大值为．