Question

设双曲线C的中心在原点，它的右焦点是抛物线的焦点，且该点到双曲线的一条准线的距离为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于两点A、B，试问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

Answer

（1）先设出双曲线的标准方程，根据抛物线的方程求得焦点坐标，进而根据焦点到双曲线的一条准线的距离为求得a，进而根据a，b和c的关系求得b，双曲线方程可得．
（2）直线方程与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0和3-k2≠0求得k的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2）．根据OA⊥OB，可知y2y1+x2x1=0，把直线方程代入整理可得x1x2（1+k2）+k（x1+x2）+1=0．进而根据韦达定理把x1+x2和x1x2代入求得k，然后检验k是否符合前面所求k的范围．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，
∴设中心在原点，右焦点为的双曲线C的方程为．
∵到双曲线的一条准线的距离为，
∴．
∴．∴．
∴双曲线C的方程为3x2-y2=1．
（Ⅱ）由得（3-k2）x2-2kx-2=0
由得．①
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵OA⊥OB，∴y2y1+x2x1=0，y1=kx1+1，y2=kx2+1．
∴（kx1+1）（kx2+1）+x1x2=0．即x1x2（1+k2）+k（x1+x2）+1=0．②
将，，代入②，解得k=±1，满足①．
∴k=±1时，以AB为直径的圆过原点．