Question

如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知为定值．

Answer

（1）方法一：先建坐标系，求出对应点的坐标直接利用向量的数量积计算即可求动点P的轨迹C的方程；
方法二：先由，知道动点P的轨迹是抛物线，，再建坐标系求动点P的轨迹C的方程；
（2）先由已知求得λ1•λ2＜0，以及，再过A、B两点分别作准线l的垂线，利用相似比得==，二者相结合即可得λ1+λ2为定值．
【解析】
（1）方法一：如图，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy．则，F（0，1）．
设动点P的坐标为（x，y），则动点Q的坐标为（x，-1），，
由•，得x2=4y．
方法二：由．
所以，动点P的轨迹C是抛物线，以线段FM的中点
为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，可得轨迹C的方程为：x2=4y．
（2）由已知，，得λ1•λ2＜0．
于是，，①
过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，
则有==，②
由①、②得λ1+λ2=0．