Question

给定双曲线．
（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程．
（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q₁及Q₂，且点B是线段Q₁Q₂的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）设直线L的方程代入双曲线方程，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，表示出x，把x代入直线方程求得y的表达式，再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程．
（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）根据韦达定理表示出x1+x2求得k，代入判别式结果小于0，进而断定满足题设中条件的直线不存在．
【解析】
设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）
将（1）式代入双曲线方程，得：（2-k2）x2+（4k2-2k）x-4k2+4k-3=0，（2）
又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，
则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有．
按题意，，∴．
因为在直线（1）上，所以．
再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．

（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，整理得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0，（3）
设必须是（3）的两个实根，
即如果B是Q1Q2的中点，
就有（x1+x2）=1，，所以有．
综合起来，k应满足．
由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I）无解．
故满足题设中条件的直线不存在．