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如图,在三棱锥P-ABC中,,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PA...

如图,在三棱锥P-ABC中,manfen5.com 满分网,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.
(Ⅰ)求证:PA⊥BC;
(Ⅱ)求PC的长度;
(Ⅲ)求二面角P-AC-B的大小.

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(1)证明由面面垂直的性质BC⊥PA,又AB⊥BC,得到BC⊥平面PAB,进而证明PA⊥BC; (2)先求AB,再求BC,用勾股定理计算PC的长度; (3)作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,证明,∠PMO是二面角P-AC-B的平面角,在Rt△AMO中,求出 PO 和OM,可求∠PMO的正切值. 【解析】 (Ⅰ)证明:∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB, 且BC⊥AB, ∴BC⊥平面PAB.(3分) ∵PA⊂平面PAB,∴PA⊥BC.(4分) (Ⅱ)∵,PA⊥PB,∴. ∵AB⊥BC,∠BAC=30°,∴BC=AB•tan30°=2.(7分) ∵BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,∴.(9分) (Ⅲ)作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM.∵平面PAB⊥平面ABC, ∴PO⊥平面ABC,根据三垂线定理得PM⊥AC,∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角.(12分) 在Rt△AMO中,, 易知AO=PO, ∴,(13分) 即二面角P-AC-B的大小是arctan2(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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