Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n_t；
（Ⅲ）若（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n₁的取值集合．

Answer

（I）要求d，则用“a5，d”表示a2•a10＞0，再由各项均为整数从而求得d；
（II）因为成等比数列且知道首项，故先求出公比，再用通项公式求解；
（III）与（II）思路相同，区别在于过程中用a3表示．
（Ⅰ）【解析】
因为等差数列{an}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）
由a2•a10＞0，得（a5-3d）（a5+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，解得．
注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1．（3分）
（Ⅱ）【解析】
由a3=2，a5=6，得，
从而an=a3+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故．（5分）
由，成等比数列，得此等比数列的公比为，
从而
由2nt-4=2•3t+1，解得nt=3t+1+2，t=1，2，3，．（7分）
（Ⅲ）【解析】
由，得．
由，成等比数列，得．
由，化简整理得（9分）
因为n1＞5，从而a3＞0，
又n1∈Z且d≠0，从而a3是12的非6的正约数，故a3=1，2，3，4，12．（10分）
①当a3=1或a3=3时，，
这与{an}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠1且a3≠3．（11分）
②当a3=4时，由，
但此时，这与{an}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠4．（12分）
③当a3=12时，同理可检验an2∉Z，所以，a3≠12．（13分）
当a3=2时，由（Ⅱ）知符合题意．
综上，n1的取值只能是n1=11，即n1的取值集合是{11}．（14分）