Question

在直角坐标系O-xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0），=（0，0，1）．
（1）求与的夹角α的大小；
（2）设n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；
（3）求OA与平面SBC的夹角；
（4）求点O到平面SBC的距离；
（5）求异面直线SC与OB间的距离．

Answer

（1）：利用向量的几何意义a•b=|a||b|cosα变形可求出α；
（2）：n⊥平面SBC，n就垂直于平面内所有直线，则n⊥且n⊥，垂直就点积为零从而就求出p和q得出n；
（3）：OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求与n所成的角，利用a•b=|a||b|cosα求出α，再用-α；
（4）：点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值故求出d即可；
（5）：在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m．则m⊥且m⊥，用点积为零求出m，最后异面直线SC与OB间的距离为在m上的投影的绝对值故求出d′即可．
【解析】
（1）如图，=-=（2，0，-1），
=+=（1，1，0），
则||==，||==．
cosα=cos＜，＞===，α=arccos．

（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥且n⊥，
即
∵=（2，0，-1），=-=（1，-1，0），
∴，∴即n=（1，1，2）．

（3）OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余，
故可先求与n所成的角.=（0，1，0），
||=1，|n|==．
∴cos＜，n＞===，
即＜，n＞=arccos．∴θ=-arccos．

（4）点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值，
∴d=|•|==．
（5）在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，
故先求与SC、OB均垂直的向量m．
设m=（x，y，1），m⊥且m⊥，
则m•=0，且m•=0．
∴即
∴m=（，-，1），d′=|•|==．