Question

已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P．
（1）求证：AP⊥EF；
（2）求证：平面APE⊥平面APF；
（3）求异面直线PA和EF的距离．

Answer

（1）这是一个“折叠问题”，需抓住不变的线线垂直关系、长度关系．比如：∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，所以PA⊥平面PEF．
又因为EF⊂平面PEF，所以PA⊥EF．
（2）由长度关系易得：∠EPF=90°，且∠APE=90°，AP∩PF=P，所以PE⊥平面APF．又PE⊂平面PAE，所以平面APE⊥平面APF．
（3）求异面直线的距离是立体几何的一个难点，其主要原因是公垂线段较难找，本题可以采用“线面距离法”：即选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平面的距离即为所求异面直线间的距离．在面PEF中，作PG⊥EF，垂足为G，
则PG是AP与EF的公垂线．在等腰Rt△PEF中，进一步可以求得PG的长度．
（1）证明：如图，∵∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF．
∵EF⊂平面PEF，∴PA⊥EF．
（2）证明：∵∠APE=∠EPF=90°，
AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF．又PE⊂平面PAE，
∴平面APE⊥平面APF．
（3）【解析】
在面PEF中，作PG⊥EF，垂足为G，
∵AP与面PEF垂直，PG⊂平面PEF，
∴AP⊥PG，PG⊥EF，PG是AP与EF的公垂线．
在等腰Rt△PEF中，PE=PF=，∠EPF=90°，∴PG=EG=．