Question

如图，AB为圆柱OO₁的母线，BD为圆柱OO₁下底面直径，AB=BD=2，点C为下底面圆周⊙O上的一点，CD=1．
（1）求三棱锥C-ABD的体积；
（2）求面BAD与面CAD所成二面角的大小；
（3）求BC与AD所成角的大小．

Answer

（1）求三棱锥C-ABD的体积，转化为求A-BCD的体积，求出底面面积，和高即可求解．
（2）求面BAD与面CAD所成二面角的大小，先作出二面角的平面角，过B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F，证明∠BEF是面ABD与面ACD所成的二面角的平面角，然后求解即可．
（3）求BC与AD所成角的大小，过点D在下底面作DG∥BC交⊙O于点G，则∠GDA为BC与AD所成的角，通过解三角形解答即可．
【解析】
（1）∵AB为圆柱OO1的母线，∴AB⊥下底面．
∴AB为棱锥A-BCD的高．而点C在⊙O上，
∴△BCD为直角三角形，∠BCD=90°．
∵BD=2，CD=1，∴BC=．
∴V三棱锥C-ABD=V三棱锥A-BCD=××1××2=．

（2）过B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F，
连接EF．由BD为底面圆的直径，得BC⊥CD．
∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
∴AC⊥CD．
而AC∩BC=C，
∴CD⊥平面ABC．
而CD⊂平面ADC，
∴平面ABC⊥平面ADC，且它们的交线为AC．
∵BF⊂平面ABC，BF⊥AC，垂足为点F，
∴BF⊥平面ACD．
而BE⊥AD，AD⊂平面ACD，
∴EF⊥AD．平面ABD∩平面ACD=AD，
∴∠BEF是面ABD与面ACD所成的二面角的平面角．
由BE=AD=，AC=，AB=2，可求出BF=．
∴sin∠BEF===．
∵∠BEF为锐角，∴∠BEF=arcsin．
故所求二面角的大小为arcsin．

（3）过点D在下底面作DG∥BC交⊙O于点G，
则∠GDA为BC与AD所成的角．连接BG、AG，
由BD是⊙O的直径，得GD⊥BG，则AG⊥DG，BC=GD．
∴cos∠GDA===．
∴∠GDA=arccos．
∴所求BC与AD所成的角的大小为arccos．