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设{an},{bn}是两个数列,M(1,2),An为直角坐标平面上的点.对n∈N...

设{an},{bn}是两个数列,M(1,2),Anmanfen5.com 满分网为直角坐标平面上的点.对n∈N*,若三点M,An,B共线,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:manfen5.com 满分网,其中{cn}是第三项为8,公比为4的等比数列.求证:点列P1(1,b1),P2(2,b2),…Pn(n,bn)在同一条直线上;
(3)记数列{an}、{bn}的前m项和分别为Am和Bm,对任意自然数n,是否总存在与n相关的自然数m,使得anBm=bnAm?若存在,求出m与n的关系,若不存在,请说明理由.
(1)由题意知,由此可得an=2+2(n-1),所以数列{an}的通项公式为an=2n. (2)由题意得,由此可推导出bn=3n-4.从而推导出点列P1(1,b1),P2(2,b2),Pn(n,bn)在同一条直线上. (3)由题设条件可知=4m(m+1-2n),所以对任意自然数n,当m=2n-1时,总有anBm=bnAm成立. 【解析】 (1)因三点M,An,Bn共线, ∴(2分) 得an=2+2(n-1)故数列{an}的通项公式为an=2n(4分) (2)由题意cn=8•4n-3=22n-3, 由题意得(6分) ∴, ∴a1b1+a2b2+anbn=n(n+1)(2n-3) 当n≥2时,anbn=n(n+1)(2n-3)-(n-1)n(2n-5)=n(6n-8)(8分) ∵an=2n ∴bn=3n-4. 当n=1时,b1=-1,也适合上式, ∴bn=3n-4(n∈N*)(10分) 因为两点P1、Pn的斜率(n∈N*)为常数 所以点列P1(1,b1),P2(2,b2),Pn(n,bn)在同一条直线上.(12分) (3)由an=2n得; bn=3n-4得(14分) 若anBm=bnAm, 则=4m(m+1-2n) ∵m≥1 ∴m=2n-1 ∴对任意自然数n,当m=2n-1时,总有anBm=bnAm成立.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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